Aksioma indukcije: Ako neki skup (tj. podskup skupa prirodnih brojeva) ima svojstva:

1.

2. ako

tada je

Posledica ove aksiome je takozvani

Princip matematičke indukcije: Ako je neko tvrđenje u kome figuriše prirodni broj dokazano za prirodni broj i ako se, uz pretpostavku da važi za proizvoljan prirodni broj , dokaže da ono važi i za , tada tvrđenje važi za sve prirodne brojeve .

Osobine skupa prirodnih brojeva

1) Uređenost skupa prirodnih brojeva pomoću binarnih relacija poretka "" i strogog poretka "" koja ima sledeća svojstva:

· za proizvoljna dva prirodna broja važi samo jedan od odnosa:

- svojstvo trihotomije

· ako su , i proizvoljni prirodni brojevi, tada u slučaju da je i - svojstvo tranzitivnosti.

2) Za svaki broj .

3) Na skupu prirodnih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, množenje i stepenovanje prirodnim brojem – rezultat će uvek biti prirodan broj; pri tome sabiranje i množenje imaju sledeća svojstva:

· - komutativnost
· - asocijativnost
· - distributivnost.

4) Neutralni element za množenje je : .

5) Skup prirodnih brojeva je ograničen s donje strane, a nije ograničen s gornje strane, tj. postoji najmanji prirodni broj , a ne postoji najveći.

6) Jednačina , nema rešenja u skupu prirodnih brojeva ako je , jer tada .

Da bi se rešila jednačina , , skup prirodnih brojeva se mora proširiti tj. operacija oduzimanja , , dovodi do proširenja skupa na skup .

Osobine skupa celih brojeva

1) Uređenost skupa (pomoću relacija poretka i strogog poretka kao i kod skupa prirodnih brojeva).

2) Na skupu celih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, oduzimanje, množenje i stepenovanje prirodnim brojem .

3) Sabiranje i množenje imaju svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti.

4)

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za množenje je , tj. .

6) Za svaki ceo broj postoji suprotan broj takav da, ako je .

7) Skup celih brojeva je neograničen kako s donje (leve), tako i s gornje (desne) strane, tj. u skupu ne postoji ni najmanji ni najveći ceo broj.

8) Jednačina , nema rešenja u skupu celih brojeva.

Rešavanje jednačine , odnosno operacija deljenja, proširuje skup celih brojeva na skup racionalnih brojeva :

ili

Osobine skupa racionalnih brojeva

1) Uređenost skupa (na isti način kao i kod prirodnih i celih brojeva).

2) Na skupu racionalnih brojeva se neograničeno i jednoznačno mogu primenjivati sabiranje, oduzimanje, množenje, stepenovanje celim brojem i deljenje - rezultat će uvek biti racionalan broj.

3) Skup racionalnih brojeva je svugde gust skup, što znači da između svaka dva racionalana broja postoji beskonačno mnogo racionalnih brojeva. Ako i , tada je

i .

Na sličan način možemo obrazovati i aritmetičku sredinu racionalnih brojeva i , odnosno i ; tada bi smo dobili da je

, jer je , itd.

Produžujući ovakav proces dobijamo beskonačno mnogo racionalnih brojeva koji leže unutar intervala , što znači da je skup racionalnih brojeva svugde gust.

4) Skup racionalnih brojeva je neograničen s obe strane, tj. ne postoji ni najmanji ni najveći racionalan broj.

5) Neutralni element za sabiranje je , a neutralni element za množenje je , tj. .

6) Za svaki racionalan broj , postoji inverzni element za množenje .

Def: Dedekindovim presekom na skupu racionalnih brojeva nazivamo par skupova i (tzv. donja i gornja klasa) koji imaju sledeća svojstva:

·

·

·

· Svaki element donje klase je manji od bilo kojeg elementa gornje klase .

Na skupu racionalnih brojeva, Dedekindov presek pripada jednom od sledeća tri tipa:

1. Postoji najveći element u klasi , a klasa ne sadrži najmanji element ;

2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element ;

3. Ne postoji najveći element u klasi niti postoji najmanji element u klasi .

Prva dva tipa definišu racionalan broj, dok treći definiše iracionalan broj.

7) Geometrijska interpretacija racionalnih brojeva na brojnoj pravoj.

8) Operacije sa racionalnim brojevima koje su inverzne stepenovanju

· korenovanje:

· logaritmovanje:

daju u opštem slučaju iracionalne brojeve.

Skup realnih brojeva

Svi racionalni i svi iracionalni brojevi obrazuju skup realnih brojeva (). Skup realnih brojeva ima sledeće osobine:

1) Skup realnih brojeva je svugde gust i uređen skup (pomoću binarnih relacija poretka i strogog poretka).

2) Dedekindov presek na skupu realnih brojeva daje uvek realan broj i ima samo dva tipa:

1. Postoji najveći element u klasi , a klasa ne sadrži najmanji element ;

2. Klasa ne sadrži najveći element, ali klasa sadrži najmanji element ;

3) Skup realnih brojeva je neprebrojiv skup.

Def: Kažemo da je skup , ograničen s gornje strane ako postoji realan broj takav da je .

Najmanje od gornjih ograničenja skupa nazivamo supremum skupa :

.

Ako je , tada kažemo da je najveći (maksimalni) element u skupu .

Def: Za skup kaže se da je ograničen odozdo ako postoji takav realan broj da je .

Najveće od donjih ograničenja skupa naziva se infimum skupa :

.

Ako je , tada se kaže da je najmanji (minimalni) element u skupu .

Def: Ako je proizvoljan realan broj, tada je apsolutna vrednost od :

Svojstva apsolutnih vrednosti:

1.

2. ako je ili

3. , ili

4.

5.

6.

7.

8. .

Nejednakosti. Na skupu realnih brojeva za nejednakosti važe sledeća svojstva:

1.

2.

3.

Kao posledice navedenih osobina mogu se dokazati sledeća svojstva:

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Bernulijeva nejednakost važi za svaki realan broj i svaki prirodan broj :

Skup kompleksnih brojeva

Def: Skup svih uređenih parova realnih brojeva u kojem su jednakost, sabiranje i množenje definisani na sledeći način:

·

·

·

·

naziva se skupom kompleksnih brojeva , a svaki takav uređen par naziva se kompleksan broj . Rešenje jednačine zove se imaginarna jedinica . Kompleksan broj se često piše i u algebarskom obliku: . Skup kompleksnih brojeva predstavlja podskup Dekartovog proizvoda sa gore navedenim osobinama.

Def: Svakom kompleksnom broju odgovara konjugovano kompleksni broj :

, odnosno

Operacije sa kompleksnim brojevima. Neka su data dva kompleksna broja i ; tada se mogu uvesti sledeće operacije:

1. Sabiranje:

2. Oduzimanje:

tj. s obzirom da je oduzimanje operacija inverzna sabiranju, ako je , onda je , što znači da se razlika dva kompleksna broja geometrijski može interpretirati pomoću njihovog zbira.

3. Množenje:

4. Deljenje se uvodi kao operacija inverzna množenju:

, tj. ,

odakle dobijamo sistem od dve jednačine sa dve nepoznate:

Rešavanjem ove dve jednačine dobija se

, tj.

5. Stepenovanje kompleksnog broja prirodnim brojem se izvodi pomoću operacija množenja:

Napomena. Imamo da je ; uopšte:

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Kompleksan broj predstavlja tačku u ravni jer je . Ako se uvede sistem polarnih koordinata u ravni , , rastojanje tačke od koordinatnog početka predstavlja modul kompleksnog broja : . Ugao koji duž obrazuje sa apscisnom osom zove se argument kompleksnog broja broja : ; za ugao koji je veći od koristi se oznaka . Očigledno je , , te se kompleksan broj može napisati u trigonometrijskom obliku:

gde je , , tj. .

U trigonometrijskom obliku se znatno pojednostavljuje množenje, deljenje i stepenovanje kompleksnih brojeva. Neka su data dva kompleksna broja i .

· Množenje: , što znači da je modul proizvoda dva kompleksna broja jednak proizvodu modula , a argument proizvoda jednak zbiru argumenata .

· Deljenje:

,

· Stepenovanje:

,

U slučaju kada je dobija se Moavrova formula: .

· Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje da se na skupu kompleksnih brojeva uvede operacija korenovanja. Neka je dat kompleksan broj . Kažemo da je -ti koren broja , ako je . Znači, ako je , tada . Dva kompleksna broja će biti jednaka ako imaju jednake module i jednake argumente: i , tj. i , što znači da je , odnosno , i . Dakle,

S obzirom da su i periodične funkcije sa periodom to znači da ima različitih vrednosti.

Eksponencijalni oblik kompleksnog broja. Stepenovanje broja kompleksnim brojem definiše se jednakošću . Ako je imaginarni deo kompleksnog broja jednak nuli, tj. ako je realan broj, tada za stepen važe poznata svojstva stepena sa realnim eksponentom:

Ako je realni deo kompleksnog broja jednak nuli a imaginarni deo označimo sa , dobijamo tzv. Ojlerovu formulu:

,

na osnovu koje kompleksan broj može da se napiše u eksponencijalnom obliku:

ili, imajući u vidu da je

odnosno

,

jer je .

Primer: