Def: Neka su i proizvoljni skupovi. Funkcija predstavlja zakon korespondencije pomoću koga se proizvoljnom elementu skupa dodeljuje neki element skupa .

Da bi se zadala konkretna funkcija potrebno je dati skupove i i zakon korespondencije između elemenata tih skupova, koji predstavlja ili nabrajanje ili opšte pravilo. Ako su skupovi i beskonačni, tada se zakon korespondencije može zadati samo nekim opštim pravilom.

Primer: Dat je skup prirodnih brojeva. Svakom prirodnom broju dodelićemo broj ; time je definisana funkcija , tj. .

Teorema: Svaka funkcija definiše neku binarnu relaciju na skupu .

Primer: Ako je data funkcija , , imamo da je . Odgovarajuća binarna relacija je .

Def: Za funkciju kažemo da je jednoznačna ako se bilo kojem elementu iz skupa korespondira najviše jedan element iz skupa .

Iz ove definicije sledi da u opštem slučaju nekim elementima skupa ne mora biti korespondiran nijedan element iz skupa .

Primer: Data je funkcija pomoću pravila , ; tada se može napisati da je .

Osobine funkcija 

Def: Funkcija je svugde definisana ako svakom elementu skupa odgovara neki element skupa .

Def: Skup onih elemenata iz kojima su korespondirani elementi skupa naziva se oblast definisanosti funkcije , ili domen te funkcije.

Funkcija je svugde definisana ako je (tj. ako se njena oblast definisanosti podudara sa skupom ).

Primer: Neka je skup , znači , a skup , tj . Definišimo na skupu funkciju

.

Oblast definisanosti date funkcije je jer logaritamska funkcija nije definisana za vrednost .

Ako je funkcija svugde definisana, to znači da je svakom elementu korespondiran bar po jedan element ; ako je funkcija uz to i jednoznačna, tada je svakom elementu korespondiran po jedan i samo jedan element , tj.

.

Def: Ako je funkcija jednoznačna i svugde definisana tada takvu funkciju nazivamo preslikavanjem skupa u skup .

Def: Kažemo da je funkcija na skupu ako je svaki element skupa korespondiran nekom elementu skupa ; u suprotnom kažemo da je funkcija u skupu .

Skup čiji su elementi korespondirani elementima skupa naziva se skup (oblast) vrednosti funkcije .

Funkcija će biti funkcija na skupu ako i samo ako se skup vrednosti funkcije podudara sa skupom , tj. ako je .

Def: Funkcija se naziva injektivnom ako je svaki element skupa korespondiran samo po jednom elementu skupa .

Znači je injektivna funkcija ako različitim elementima skupa odgovaraju različiti elementi skupa , tj. ako su i proizvoljni elementi skupa i , tada je

i , tj.

Ako je injektivna funkcija na celom skupu , tada je svaki element skupa korespondiran jednom i samo jednom elementu skupa .

Inverzna funkcija 

Def: Neka je proizvoljna funkcija definisana na skupu . Razmotrimo funkciju zadatu na skupu zakonom korespondencije:

.

Tako definisana funkcija je inverzna funkcija date funkcije .

Primer: Na skupu pozitivnih realnih brojeva, koji ćemo označavati sa , zadat je zakon korespondencije . Inverzna funkcija data je zakonom ; označimo . Dakle, dobili smo inverznu funkciju .

Iz prethodne definicije sledi da je funkcija inverzna funkciji upravo polazna funkcija .

Teorema: Ako je funkcija svugde definisana, tada je inverzna funkcija funkcija na celom skupu .

Dokaz:     Neka je proizvoljan element skupa i svuda definisana funkcija; tada postoji takav element da je . U tom slučaju je , što znači da je u funkciji proizvoljni element korespondiran nekom elementu iz ; odatle sledi da je funkcija na celom skupu .

Teorema: Ako je funkcija na celom skupu , tada je inverzna funkcija svugde definisana.

Teorema: Inverzna funkcija je jednoznačna ako i samo ako je polazna funkcija injektivna.

Kompozicija funkcija 

Def: Kompozicijom dve funkcije i naziva se funkcija , čiji se zakon korespondencije zadaje na sledeći način:

.

Teorema: Za kompoziciju funkcija važi asocijativni zakon, tj. ako su date tri funkcije , i , tada je:

.

Uzajamno jednoznačna korespondencija skupova 

Pretpostavimo da je funkcija :

1. jednoznačna,
2. svugde definisana,
3. na celom skupu ,
4. injektivna.

Kako je funkcija svugde definisana i jednoznačna, tada svakom elementu odgovara po jedan i samo jedan element . Takođe, a obzirom da je injektivna funkcija na celom skupu , to se svaki element skupa korespondira po jednom i samo jednom elementu skupa (). U tom slučaju kažemo da je između skupova i uspostavljena uzajamno jednoznačna korespondencija.

Def: Funkcija realizuje uzajamno jednoznačnu korespondenciju skupova i ako je svugde definisana, jednoznačna, injektivna i na celom skupu .

Primer: Neka je skup prirodnih brojeva, a skup parnih brojeva. Definišimo funkciju ; time je između skupa svih prirodnih brojeva i skupa svih parnih brojeva uspostavljena uzajamno jednoznačna korespondencija.

Teorema: Ako funkcije i uspostavljaju uzajamno jednoznačnu korespondenciju, tada to isto važi i za njihovu kompoziciju .

Def: Za dva skupa i se kaže da su ekvivalentni, označava se sa , ako se između njihovih elemenata može uspostaviti uzajamno jednoznačna korespondencija.

Ekvivalencija skupova je binarna relacija za koju važe svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti, tj. predstavlja relaciju ekvivalencije.

Def: Ako za skupove i postoji bar jedno uzajamno jednoznačno preslikavanje, tada kažemo da skupovi i imaju jednaku moć.