Jednaèina sa promenljivih oblika:

gde koeficijenti nisu svi istovremeno nula, nazivamo linearnom algebarskom jednaèinom; njena leva strana predstavlja linearnu formu sa promenljivih. Skup rešenja ove jednaèine je skup svih ureðenih -torki brojeva koje tu jednaèinu identièki zadovoljavaju.

Def: Sistem od linearnih algebarskih jednaèina sa promenljivih :

nazivamo nehomogenim sistemom ako slobodni èlanovi nisu svi jednaki nuli, a homogenim sistemom ako su svi slobodni èlanovi jednaki nuli. Skup rešenja ovog sistema je skup ureðenih -torki brojeva koje sve jednaèine sistema identièki zadovoljavaju.

Sistem se piše u sažetom obliku:

,

a u matriènom obliku:

, odnosno ,

gde je .

Matrica

zove se matrica sistema. Ako se ovoj matrici dopišu zdesna slobodni èlanovi koji obrazuju matricu , dobija se proširena matrica sistema:

.

Pri tom je , a ne može biti manji od ranga matrice, veæ je ili ili .

U pogledu rešavanja sistema postoje sledeæe moguænosti:

1. Sistem nema ni jedno rešenje

2. Sistem ima jedinstveno rešenje

3. Sistem ima beskonaèno mnogo rešenja

U prvom sluèaju kažemo da je sistem nesaglasan (inkompatibilan), dok je u preostala dva sluèaja sistem saglasan (komplatibilan).

Teorema: (Kroneker-Kapelijeva) Sistem linearnih algebarskih jednaèina je saglasan ako i samo ako je:

.

Posledica: Sistem linearnih algebarskih jednaèina nema rešenja ako i samo ako je:

.

Rešavanje nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednaèina 

Dat je sistem:

gde slobodni èlanovi nisu svi jednaki nuli i u opštem sluèaju je . Razmatraæemo samo saglasan sistem, tj. kada je , jer u sluèaju kada je unapred znamo da je sistem nesaglasan, tj. nema rešenja.

Za saglasan sistem postoje sledeæe moguænosti:

1.

2.

U prvom sluèaju je oèigledno , tako da na levoj strani imamo linearno nezavisnih i linearno zavisnih linearnih formi; koeficijenti tih linearnih formi obrazuju regularnu kvadratnu matricu -tog reda. Kako je, po pretpostavci, , to je u ovom sluèaju posmatrani sistem od jednaèina sa promenljivih () ekvivalentan nehomogenom sistemu od jednaèina sa promenljivih i sa regularnom matricom. Zato se odmah rešava nehomogeni sistem:

gde je

, tj. .

U matriènom obliku taj sistem glasi:

.

Ovu matriènu jednaèinu rešavamo množeæi je prvo sleva sa :

.

Dakle, da bi se odredili elementi tražene matrice , potrebno je prvo naæi inverznu matricu .

Za odreðivanje jedne nepoznate, recimo , iz polaznog sistema, potrebno je eliminisati sve ostale promenljive. Prvo æemo pomnožiti sve jednaèine tog sistema odgovarajuæim kofaktorima odnosno minorima elemenata , uzetim sa odgovarajuæim znakom 
():

a zatim, grupišuæi koeficijente uz odgovarajuæe promenljive, sabrati dobijene jednaèine:

(·)

Na levoj strani ove jednaèine imamo u zagradama izraze:

, za , i ,

dok je na desnoj strani izraz:

,

koji se dobija kada se koeficijenti (koji stoje uz promenljivu u polaznom sistemu) zamene slobodnim èlanovima :

Prema tome, jednaèina (·) može se napisati u obliku:

odakle je

èime je dobijeno rešenje polaznog sistema. Zbog jednoznaènosti operacije deljenja brojem razlièitim od nule u skupu realnih brojeva, dobijeno rešenje je jedinstveno.

Teorema: (Kramerova) Ako je determinanta sistema od nehomogenih linearnih algebarskih jednaèina sa promenljivih razlièita od nule, tada taj sistem ima jedinstveno rešenje dato formulom:

gde je determinanta tog sistema, a determinanta dobijena tako što su u koeficijenti uz zamenjeni, redom, slobodnim èlanovima .

S obzirom da važi da je:

to jest

tada rešenje sistema možemo napisati u obliku:

Kvadratna matrica na desnoj strani zove se adjungovana matrica matrice i oznaèava: . S obzirom na to je:

.

Neposredno zakljuèujemo da je inverzna matrica matrice :

.

Matrica dobija se tako što se, prvo, matrica transponuje, pa se zatim, polazeæi od:

od kofaktora njenih elemenata formira :

Rešavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednaèina 

Dat je sistem od homogenih jednaèina sa promenljivih:

Kod homogenog sistema uvek je , što znaèi da je takav sistem uvek saglasan. Sistem oèigledno uvak ima trivijalno rešenje:

Treba, meðutim, ispitati da li taj sistem osim trivijalnog ima i netrivijalna rešenja. Razlikujemo sledeæe sluèajeve:

1. Ako je (znaei ), tada je u sistemu sadržan podsistem od saglasnih homogenih jednaèina sa promenljivih, pa je determinanta tog podsistema . Prema, tome, na osnovu Kramerove teoreme, takav sistem ima samo jedno rešenje, tj. osim trivijalnog drugih rešenja nema.

Napomena: Sve determinante koje se obrazuju zamenom koeficijenata uz slobodnim èlanovima, biæe jednake nuli jer su svi slobodni èlanovi jednaki nuli.

2. Ako je , tada postoji slobodnih promenljivih kojima možemo davati proizvoljne vrednosti, te u tom sluèaju sistem osim trivijalnih ima i beskonaèno mnogo netrivijalnih rešenja. U datom sistemu je sadržan saglasan podsistem:

èije su vezane promenljive date formulom:

a opšte rešenje je

ili u matriènom obliku:

ili kraæe:

To je opšte rešenje homogenog sistema u kome, u poreðenju sa opštim rešenjem nehomogenog sistema, nedostaje (trivijalno rešenje); èine fundamentalni sistem rešenja. Dakle, svako netrivijalno rešenje homogenog sistema (pod uslovom: ) je linearna kombinacija njegovih fundamentalnih rešenja.

Primer: Rešiti homogeni sistem jednaèina:

Lako je videti da je treæa jednaèina posledica prvih dveju, te da je dati sistem ekvivalentan sistemu koji èine prve dve jednaèine i koji se može napisati u obliku:

Opšte rešenje datog homogenog sistema je:

ili u matriènom obliku:

.

Gausov algoritam 

Sistem od nehomogenih linearnih jednaèina sa promenljivih ():

jednostavno se rešava u matriènom obliku ako je , naime imamo:

i ,

pošto je matrica sistema, za , regularna. Meðutim, ako je matrica visokog reda, tada je izraèunavanje inverzne matrice pozamašan posao, te veæi praktièni znaèaj imaju neke druge metode rešavanja sistema. Jedna od takvih je Gausova metoda koja se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema.

Pretpostavimo da je koeficijent (u sluèaju da je poèelo bi se nekim drugim koeficijentom). Iskljuèimo nepoznatu iz svih jednaèina sistema osim prve. Da bi smo to realizovali potrebno je obe strane prve jednaèine pomnožiti sa i dodati ih drugoj jednaèini, zatim obe strane prve jednaèine pomnožiti sa i dodati ih treæoj jednaèini, itd. i na kraju obe strane prve jednaèine pomnožiti sa i dodati ih -toj jednaèini. Na taj naèin se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:

pri tom se koeficijenti uz promenljive i slobodni èlanovi u poslednjih jednaèina sistema odreðuju formulama:

,

Ako sada pretpostavimo da je , primeniæemo isti postupak za iskljuèivanje promenljive iz poslednjih jednaèina sistema i dobiæemo ekvivalentan sistem jednaèina:

gde je

,

Na slièan naèin bismo, uz pretpostavku da je , iskljuèili promenljivu iz poslednjih jednaèina sistema, a zatim produžili isti postupak.

Ako se u navedenom postupku doðe do sistema u kome jedna od jednaèina ima slobodni èlan razlièit od nule, a svi njeni koeficijenti na levoj strani su jednaki nuli, tada je polazni sistem nesaglasan. Ako to nije sluèaj, tada Gausov algoritam dovodi do sistema, ekvivalentnog polaznom sistemu:

pri tom je , , a prema tome i .

U tom sluèaju sistem je saglasan; ako je , sistem ima jedinstveno rešenje, a ako je , sistem ima beskonaèno mnogo rešenja. Zaista, ako je , sistem ima oblik:

Poslednja jednaèina sistema jednoznaèno odreðuje promenljivu ; kada se vrednost za uvrsti u pretposlednju jednaèinu, jednoznaèno se odreðuje promenljiva , itd. Nastavljajuæi ovaj postupak nalazimo da sistem, a to znaèi i njemu ekvivalentan polazni sistem, u sluèaju kad je ima jedinstveno rešenje.

Ako je , tada su slobodne promenljive koje prenosimo na desnu stranu, a zatim se, kao i u prethodnom sluèaju, odreðuju vezane promenljive . S obzirom na to da slobodne promenljive mogu imati proizvoljne vrednosti, sistem u ovom sluèaju ima beskonaèno mnogo rešenja.

Kao što smo videli, homogen sistem linearnih jednaèina uvek je saglasan jer postoji bar jedno, trivijalno rešenje . Ako je , sistem nema netrivijalnih rešenja, a ako je , Gausovim algoritmom se polazni sistem svodi na sistem sa stepenastom matricom, koji osim trivijalnog ima još i beskonaèno mnogo netrivijalnih rešenja.

Primer: Rešiti sistem pomoæu Gausovog algoritma:

Napišimo proširenu matricu sistema i primenimo Gausov algoritam:

što znaèi da smo polazni sistem doveli na oblik:

odakle se neposredno dobija jedinstveno rešenje:

.