Beskonačno male funkcije (veličine) i njihova osnovna svojstva

Def: Neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke , izuzev možda u samoj tački . Funkcija ima graničnu vrednost kad argument , što označavamo sa , ako za svako proizvoljno malo pozitivno postoji takav odgovarajući pozitivan broj , da je za sve vrednosti argumenta za koje važi uslov , ispunjena nejednakost .

Ako se unapred zada , tada sve vrednosti funkcije koje zadovoljavaju nejednakost leže u pojasu između i . Za sve vrednosti argumenta , _. Uzmimo kraći od intervala . Njegovu dužinu označimo sa . Tada imamo:

.

Teorema: Ako postoji granična vrednost

,

onda je ta granična vrednost jedinstvena.

Dokaz:      (PPS): i , što znači da za svako , postoje i da:

Ako stavimo , tada , a sa obzirom da je proizvoljan mali broj to je .

Teorema: Ako je funkcija definisana u nekoj okolini tačke izuzev u samoj tački i ako je

tada se kaže da je funkcija beskonačno mala veličina kad , tj.

, , .

Teorema: Ako postoji , tada možemo napisati da je

, , ,

gde je neka beskonačno mala veličina, tj.

.

Dokaz:      Pošto , tada

, , ,

ako stavimo da je , tj , imamo da

, , ,

čime je teorema dokazana.

Teorema: Zbir dve beskonačno male veličine je takođe beskonačno mala veličina, tj.

.

Dokaz:      Ako je , tada:

Neka je . Tada imamo da je: ,

, .

Teorema: Proizvod dve beskonačno male veličine je beskonačno mala veličina.

Dokaz:

Neka je . Tada imamo: , ,

kad god je dovoljno mali broj, tj. .

Def: Za funkciju se kaže da je ograničena na odsečku ako postoji , da je

.

Def: Funkcija se naziva ograničenom kad argument ako postoji okolina tačke u kojoj je data funkcija ograničena.

Teorema: Proizvod beskonačno male veličine i ograničene funkcije , je beskonačno mala veličina.

Dokaz:      Za , , .

Za , , .

Neka je . Tada , ,

, ,

što znači da je

.

Osnovne teoreme o graničnim vrednostima funkcije

Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

, 

tj. granična vrednost zbira datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti.

Dokaz:      Možemo napisati da je

, ,

znači

, i , : , ,

a to upravo znači da je

.

Napomena: Očevidno je da se prethodna teorema može proširiti i na graničnu vrednost razlike funkcija. Takođe, ona se može uopštiti ina zbir, odnosno razliku, konačno mnogo funkcija koje imaju graničnu vrednost kad .

Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

,

tj. granična vrednost proizvoda datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti.

Dokaz:      Možemo napisati da je

, , , znači:

to jest:

.

Teorema: Ako je i , tada je i

.

Dokaz:

    (·)

Neka je . U tom slučaju iz relacija (·) i pretpostavke sledi: ,

.

Teorema: Ako funkcije i imaju granične vrednosti kad argument , tj.

i ,

tada je

, 

tj. granična vrednost količnika datih funkcija jednaka je zbiru njihovih graničnih vrednosti, ako je granična vrednost imenioca različita od nule.

Dokaz:

, , , znači:

to jest:

, ako je .

Leva i desna granična vrednost funkcije

Def: Kažemo da je broj A desna granična vrednost funkcije u tački , tj.

,

ako , , , dok broj A predstavlja levu graničnu vrednost funkcije u tački , tj.

,

ako: , , .

Napomena: Ako funkcija ima i levu i desnu graničnu vrednost u nekoj tački i one su međusobno jednake tada postoji i granična vrednost funkcije u toj tački.

Granična vrednost funkcije kad argument

Def: Kažemo da funkcija ima graničnu vrednost kad neograničeno raste, tj.

ako za svako proizvoljno malo , postoji takav broj da je za sve , , , tj.

, , .

Ako se zada proizvoljno mali realni broj , tada se može naći takav broj da se za sve vrednosti argumenta koje su po apsolutnoj vrednosti veće od odgovarajuće vrednosti nalaze unutar pojasa jer:

.

Def: Funkcija je beskonačno mala veličina kad argument , ako:

, , .

Napomena:

, ako , .

, ako , .

Beskonačno velike funkcije (veličine)

Def: Funkcija se naziva beskonačno velikom veličinom za ako za svaki dovoljno velik broj postoji , da je za , , .

Teorema: Ako je funkcija beskonačno mala veličina kad , tada je beskonačno velika velična kad .

Def: Funkcija je beskonačno velika veličina kad ako za svaki proizvoljno veliki , postoji , da je

,

tj.

Def: Funkcija za koju je naziva se parnom funkcijom – njen grafik je simetričan u odnosu na osu , a ukoliko je , tada se takva funkcija naziva neparnom; njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak .

Upoređivanje beskonačno malih veličina

Def: Ako su i beskonačno male veličine kad i ako postoji konačna granična vrednost količnika,

, ,

tada se kaže da su i dve beskonačno male istog reda.

Def: Ako su i beskonačno male veličine kad i ako

, 

onda je beskonačno mala višeg reda u odnosu na ,

tj. .

Ako je

,

onda je beskonačno mala višeg reda u odnosu na ,

tj. .

Def: Funkcija predstavlja beskonačno malu veličinu k-tog reda u odnosu na ako je:

,

tj. ako su funkcije i istog reda.

Def: Funkcije i predstavljaju ekvivalentne beskonačno male veličine ako važi:

.

Def: Ako kad ne teži nikakvoj određenoj vrednosti ni beskonačnosti tada su i neuporedive.

Teorema: Ako tada je njihova razlika beskonačno mala višeg reda u odnosu ili na ili na ,

tj. , odnosno: .

Dokaz:

.