Problem određivanja brzine kretanja

- pređeni put

- srednja brzina u vremenskom intervalu . Dakle,

.

Def: Brzina kretanja u momentu (trenutna brzina) predstavlja graničnu vrednost srednje brzine u intervalu kad , tj.

.

Def: Neka je funkcija definisana i neprekidna u okolini tačke . Ako postoji:

,

tada se ta granična vrednost zove izvod funkcije u datoj tački i označava sa:

.

Primer: ,

,

tj. , pa je:

,

Geometrijsko značenje izvoda

Tangenta krive u tački predstavlja granični položaj sečice (odnosno prave ukoliko postoji), kad se tačka približava tački idući duž .

Ako , tada ;

Ako (tj. ) tada tj , odnosno:

, tj. . 

Teorema: Ako funkcija ima izvod u nekoj tački , tada je ona i neprekidna u toj tački.

Izvodi elementarnih funkcija

1. :

,

pa je , tj:

, .

2. :

, te je .

3. , :

, pa je , pa je

, tj.

.

4. :

, tj. ,

što znači da je

, pa je

.

: .

5. :

, te je

.

Ako pomnožimo i podelimo ovu jednakost sa dobijamo:

, što znači da je

. Preko smene , dobijamo da kada , tada , te je:

, pa je:

.

: .

6. :

Primetimo da je , , jednoznačna i injektivna funkcija.

Njena inverzna funkcija ima izvod za . Prema formuli

,

izvod funkcije je

,

što znači da je izvod funkcije :

.

S obzirom da je:

(·) ,

možemo napisati da je

,

a odatle prema (·) dobijamo da je:

, tj. .

: .

7. :

. Ova funkcija je jednoznačna i injektivna za . Ako je , to znači da je , te je , odnosno

.

Iz uslova i nalazimo da je , tj. . Pošto , , pa je , tj. ,

tj. .

:

Izvod zbira, razlike, proizvoda i količnika funkcija

Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je . Tada je

.

Dokaz:     

, tj.

,

jer su po pretpostavci funkcije i diferencijabilne u tački , tj.

i .

Napomena: Na isti način se dokazuje da je

Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je . Tada je

.

Dokaz:      , te je

,

odakle sledi da je

.

S obzirom da je funkcija diferencijabilna u tački , to je ova funkcija i neprekidna u toj tački, tj. ako , što znači da je

,

pa je prema tome,

, tj.

.

Teorema: Neka su funkcije i , diferencijabilne u proizvoljnoj tački i neka je , i . Tada je

.

Dokaz:      S obzirom da je

, i

, biće

,

tj.

,

te je

s obzirom da u brojiocu i imeniocu poslednjeg izraza imamo neprekidne funkcije, dobijamo da

,

tj.

.

Izvod inverzne funkcije

Teorema: Ako je neprekidna funkcija injektivna i njena inverzna funkcija u tački ima izvod , tada u odgovarajućoj tački funkcija ima izvod koji se dobija po formuli

Dokaz:      Ako je funkcija injektivna, to znači da različitim vrednostima argumenta odgovaraju različite vrednosti funkcije te ako je mora biti i (jer bi u suprotnom bilo , što znači da funkcije nije injektivna). U tom slučaju možemo napisati da je

,

tj.

.

Tablica izvoda

, ;

Stepena funkcija:

, , (dokazano je u slučaju );

specijalni slučajevi stepene funkcije:

, ,

, ;

eksponencijalna funkcija:

, ;

specijalni slučajevi eksponencijalne funkcije:

, ;

logaritamska funkcija:

, ;

specijalni slučaj logaritamske funkcije:

, ;

trigonometrijske funkcije:

, ,

, ,

, ,

, ;

inverzne trigonometrijske funkcije:

, ,

, ,

, ,

, ,

Izvod složene funkcije

Teorema: Neka je data funkcija , tj. , . Ako su funkcije i diferencijabilne, tada je

.

Dokaz:      Priraštaj date funkcije može se napisati u obliku , kad .

.

Funkcija je diferencijabilna te je i neprekidna što znači da , te u tom slučaju i , tj. dobijamo da je

Izvodi višeg reda

Def: Izvod prvog izvoda funkcije naziva se drugim izvodom funkcije i označava se sa , odnosno

.

Napomena: Izvod drugog izvoda naziva se trećim izvodom date funkcije:

.

Uopšte, izvod -tog reda funkcije predstavlja izvod (prvog reda) od izvoda -og reda date funkcije:

, tj. .

Mehaničko značenje drugog izvoda

Videli smo da je pređeni put funkcija vremena, , a da brzina u momentu predstavlja prvi izvod funkcije , tj.

.

Neka je brzina u momentu jednaka i predpostavimo da razmatrano kretanje nije ravnomerno; za vreme priraštaj brzine će biti .

Srednje ubrzanje na vremenskom intervalu dužine biće

.

Granična vrednost srednjeg ubrzanja kad predstavljaće ubrzanje u momentu :

, .

Dakle, ubrzanje u momentu predstavlja drugi izvod funkcije :

Tangenta i normala krive

Data je kriva i neka tačka , koja leži na datoj krivoj. Treba odrediti jednačine tangente i normale na datu krivu koje prolaze kroz tačku .

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku ima oblik , gde je -tangens ugla koji prava obrazuje sa pozitivnim smerom ose . Dakle, jednačina tangente će imati oblik

, tj.

,

gde je , a ugao tangente prema pozitivnom smeru ose .

Normala će prema osi obrazovati ugao , te će koeficijent pravca normale biti
.

Pošto je , imamo da je

,

što znači da će normala na krivu u tački imati jednačinu

, tj.

.

Diferencijal funkcije

Def: Ako funkcija u nekoj tački ima prvi izvod, glavni deo priraštaja funkcije koji je linearan u odnosu na priraštaj argumenta , izraz naziva se diferencijalom date funkcije u tački . Označivši diferencijal funkcije sa imamo

.

Možemo zaključiti da diferencijal ima sledeća svojstva:

1. Diferencijal funkcije je proporcionalan priraštaju argumenta
2. Ako je , razlika između priraštaja funkcije i diferencijala funkcije predstavlja beskonačno malu višeg reda u odnosu na priraštaj argumenta , kad :

, .

Znači, može se uzeti da je , tj.
, , što je veoma značajno pošto je u većini slučajeva mnogo jednostavnije odrediti diferencijal date funkcije umesto njenog priraštaja.

Mehanička i geometrijska interpretacija diferencijala

Neka tangenta na krivu u tački obrazuje ugao sa pozitivnim smerom ose . Označimo sa tačku krive čije su koordinate . U tom slučaju imamo da je , a

pošto je

, .

Dakle, diferencijal funkcije jednak je priraštaju ordinate tangente na krivu u tački . Pri tome je

i kad .

Osnovna pravila za izračunavanje diferencijala

Teorema: Ako su funkcije i diferencijabilne u nekoj tački , tada će važiti formule:

(·)

Dokaz:      Pošto su odgovarajuće formule važile za izvode funkcija i , tj.

(··)

tada množeći i levu u desnu stranu relacija (·) sa dobijamo pravila diferenciranja (··).

Diferencijal složene funkcije

Neka je data funkcija , gde je , . Kao što je poznato, ako postoje izvodi i , tada će postojati i izvod složene funkcije .

Možemo napisati da je

, tj. , 

dakle,

(·) ,

jer je , što znači da je formula (·) za diferencijal složene funkcije invarijantna u odnosu na zamenu nezavisno promenljive. Formulu (·) možemo napisati u obliku

.

Diferencijali višeg reda

Def: Diferencijal od diferencijala funkcije , pri konstantnoj vrednosti priraštaja , naziva se diferencijalom drugog reda i označava sa

. 

Diferencijal drugog diferencijala funkcije naziva se diferencijalom trećeg reda date funkcije

, 

i uopšte, diferencijal -tog reda da te funkcije predstavlja diferencijal od diferencijala -og reda:

. 

Teorema: Ako funkcija ima u nekoj tački izvod -tog reda , tada će u istoj toj tački postojati i diferencijal -tog reda i imati vrednost

(·) .

Napomena: U formuli (·) obično se umesto priraštaja nezavisno promenljive piše njen diferencijal , tj. važi formula

.

Na osnovu prethodne formule možemo pisati da je

(··) , , ... , .

Napomena: Formule (·) i (··) važe samo uslučaju kad je nezavisno promenljiva, jer u slučaju složene funkcije , tj. , , imaćemo:

i .

Međutim, u ovom slučaju je (zavisi od ), pa se ne može izvući izvan zagrade u kojoj se obavlja diferenciranje, te je

, tj.

, .