Teorema: (Rolova teorema) Ako je funkcija neprekidna na odseèku i diferencijabilna u intervalu i ako je tada postoji taèka , , u kojoj je .

Dokaz:      Tvrðenje ove teoreme je intuitivno jasno, jer ako funkcija ima istu vrednost na krajevima odseèka , tj. , tada sigurno postoji , , takvo da je tangenta na krivu u taèki sa apscisom paralelna sa osom , tj. . Ako je

,

tada je

, .

Zato pretpostavimo da je . U tom sluèaju, s obzirom da je funkcija neprekidna na zatvorenom intervalu , ona mora na tom intervalu biti i ogranièena, te prema Vajerštrasovoj teoremi postoji najmanja i najveæa vrednost funkcije na odseèku . Pretpostavimo recimo da je , ; u tom sluèaju je , tj. , . što znaèi da je

   tj.   (·)

gde smo u relacijama (·) proizvoljnu taèku napisali u obliku . Pretpostavili smo da postoji izvod date funkcije u svakoj taèki . Prema tome, s obzirom da postoji , sledi da je

Teorema: (Lagranžova teorema) Ako je funkcija neprekidna na odseèku i diferencijabilna u intervalu tada postoji takva taèka , da je .

Dokaz:      Oznaèimo sa taèku , sa taèku i stavimo da je

.

Lagranžova teorema utvrðuje da postoji taèka , , tj. taèka na krivoj sa koordinatama , u kojoj tangenta na krivu ima isti pravac, tj. paralelna je sa tetivom . Da bi to dokazali, obrazujmo pomoænu funkciju

.

Oèigledno je da je uvedena funkcija neprekidna na odseèku , da je diferencijabilna u intervalu i da je, osim toga, i . Dakle, funkcija zadovoljava sve uslove za primenu Rolove teoreme, te prema tome postoji , , takvo da je . S obzirom da je

,

imamo da je

, tj. ,

odnosno

, ili .

Teorema: (Košijeva teorema) Neka su funkcije i neprekidne na odseèku , diferencijabilne u intervalu i , za sve . U tom sluèaju postoji takvo , , da je

.

Dokaz:      Primetimo, prvo, da mora biti , jer bi se u suprotnom sluèaju na funkciju mogla primeniti Rolova teorema, te bi, znaèi, za neko , , imali da je , što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je , . Oznaèimo

,

i uvedimo pomoænu funkciju

.

Funkcija je, oèigledno, neprekidna na odseèku , diferencijabilna u intervalu i na krjjevima odseèka zadovoljava uslov . Dakle, možemo primeniti Rolovu teoremu na funkciju ; u tom sluèaju dobijamo da postoji , : . Pošto je

, tj. ,

dobijamo da je

, tj. .

Teorema: (Lopitalova teorema) Neka funkcija i kad (ili ) istovremeno teže 0 ili beskonaènosti. Ako postoji , tada æe postojati i , i važiæe

.

Dokaz:      Dokažimo ovu teoremu najpre u sluèaju kada je i . Predpostaviæemo da su funkcije i neprekidne i diferencijabilne u nekoj okolini taèke , što znaèi da je . Prema Košijevoj teoremi postoji , , tj. odn. takvo da je

, tj. ,

jer je . Primetimo da, ako , da tada i , s obzirom da je , (odnosno ) i da, ako postoji , da tada postoji i , što znaèi da važi

,

tj.

.