Tejlorova formula za funkciju više promenljivih

Postavlja se pitanje da li je i funkciju dve ili više promenljivih moguće u okolini neke tačke aproksimirati odgovarajućim Tejlorovim polinomom -tog stepena. Ovaj problem se za funkciju dve promenljive sastoji u sledećem:

· Za proizvoljno funkciju aproksimirati Tejlorovim polinomom -tog stepena u odnosu na priraštaje i nezavisno promenljivih.

Ako se uvede pomoćna promenljiva i ako se umesto funkcije razmatre funkcija

tada pri fiksiranim vrednostima , , i funkcija se može posmatrati kao funkcija jedne promenljive. Pri tom imamo da , tačka će pripadati odsečku čije su krajnje tačke i .

Neka funkcija u nekoj okolini tačke ima neprekidne parcijalne izvode po promenljivim i zaključno sa izvodima reda , diferenciranjem funkcije kao složene funkcije po dobijamo

Traženi Tejlorov polinom se dobija korišćenjem Lagranžove teoreme o srednjoj vrednosti za funkciju jedne promenljive koja uspostavlja vezu između totalnog priraštaja funkcije , i parcijalnih izvoda i .

Na intervalu imamo

tj.

Za dobijamo formulu koja izražava Lagranžovu teoremu o serdnjoj vrednosti za funkciju dve promenljive

ili

gde je tačka neka unutrašnja tačka odsečka čiji su krajevi tačke i .

Teorema: Ako je u nekoj okolini tačke funkcija neprekidna i ako postoje parcijalni izvodi i , tada je totalni priraštaj funkcije pri prelasku iz tačke u tačku jednak totalnom diferencijalu date funkcije u nekoj unutrašnjoj tački pravolinijskog odsečka .

Teorema: Ako u svakoj tački neke oblasti postoje parcijalni izvodi i i ako su jednaki nuli, tada je funkcija u toj oblasti konstantna.

Za funkciju napišimo Tejlorovu formulu sa ostatkom u Lagražovom obliku, a zatim stavimo da je , čime se dobija Tejlorova formula za funkciju dve promenljive

sa ostatkom simbolički napisanim u obliku

gde je .

Tejlorovom formulom se izražava totalni priraštaj funkcije izražen u obliku zbira homogenih polinoma prvog, drugog,..., -og stepena po priraštajima nezavisno promenljivih i . Prvih polinoma se podudaraju sa diferencijalima prvog, drugog, ...,

-tog reda, respektivno. Polinom stepena koji figuriše u ostatku predstavlja potpuni diferencijal -og reda u tački , pravolinijskog odsečka .

Neophodni uslovi ekstremuma

Def: Funkcija u tački ima lokalni minimum ako u svim tačkama neke oblasti tačke ima manje vrednosti nego u tački tj.

Def: Funkcija u tački ima lokalni maksimum ako u svim tačkama neke oblasti tačke ima veće vrednosti nego u tački tj.

.

Primer:

funkcija dostiže najveću vrednost u . Međutim, nema lokalni maksimum u smislu definicije, jer u svakoj okolini tačke ima tačaka u kojima funkcija ima veću vrednost (tačke trećeg kvadranta) tj.

.

Ipak, ako funkcija dostiže najveću ili najmanju vrednost u nekoj unutrašnjoj oblasti, tada ta vrednost predstavlja lokalni maksimum ili lokalni minimum.

Neophodni uslovi za ekstremum funkcije više promenljivih. Dokaz

Teorema: Ako diferencijabilna funkcija dostiže ekstremum u tački tada su svi parcijalni izvodi te funkcije u tački jednaki nuli.

.

Dokaz:      Fiksirajmo sve promenljive izuzev jedne promenljive . U tom slučaju funkcija u okolini tačke se može posmatrati kao funkcija jedne promenljive , koja treba da dostigne ekstremnu vrednost za . Kao što znamo uslov za ekstremum funkcije jedne promenljive je da je prvi izvod u datoj tački jednak nuli, ako postoji, a prvi izvod date funkcije jedne promenljive za je parcijalni izvod polazne funkcije po promenljivoj u tački kada uzima vrednosti od tj.

,

što predstavlja neophodan uslov za ekstremum funkcija više promenljivih.

S obzirom na definiciju totalnog diferencijala funkcije očigledno je da se neophodan uslov za za ekstremum funkcije promenljivih može zameniti ekvivalentnim izrazom

Ako u tački dostiže ekstremum tada je tangentna ravan površi u tački . Zaista, iz jednačine tangentne ravni u tački

i

neophodnog uslova za ekstremum

sledi da je

tj.

što predstavlja jednačinu ravni paralelne na rastojanju od nje.

Def: Tačke u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli

zovu se stacionarne tačke.

Da bi se, u opštem slučaju, odredilo da li u stacionarnim tačkama funkcija dostiže ekstremum potrebna su dopunska ispitivanja. Međutim, ako funkcija dostiže ekstremnu vrednost u nekoj unutrašnjoj tački svoje oblasti definisanosti i ako sistem jednačina

određuje jedinstvenu stacionarnu tačku , tada data funkcija u tački dostiže svoj ekstemum.

Def: Tačke u kojima su svi parcijalni izvodi jednaki nuli ili u kojima bar jedan od izvoda ne postoji zovu se kritične tačke .

Znači, stacionarne tačke su kritične, ali sve kritične tačke nisu stacionarne.

Dakle, treba naći sve kritične tačke unutar oblasti i izračunati vrednost funkcije u tim tačkama. Osim toga, treba uzeti u obzir da funkcija može dostizati ekstremum na granici oblasti . Na kraju upoređivanjem svih dobijenih vrednosti određuje se najmanja ili najveća.

Primer: Odredimo najmanju i najveću vrednost funkcije u oblasti .

Oblast je trougao , pa iz uslova stacionarnosti funkcije

koji su zadovoljeni u tačkama u kojima je tj. , znači u tačkama i od kojih samo leži unutar . U toj tački funkcija ima vrednost . Sada prelazimo na ispitivanje funkcije u graničnim tačkama oblasti :

a) duž ivice (deo prave ) data funkcija predstavlja rastuću funkciju, što znači da je najmanja vrednost , a najveća .

b) duž ivice (deo prave ) , što znači da se stacionarne tačke dobijaju iz uslova tj. ekstremum se dostiže u tački u kojoj funkcija ima vrednost .

c) duž ivice (deo prave ) dobijamo rastuću funkciju , čija je najmanja vrednost , a najveća .

Upoređujući dobijene vrednosti zaključujemo da u zadanoj oblasti najmanja vrednost funkcije je u tački , a najveća u tačkama i .

Dovoljni uslovi za ekstremum

Teorema: Pretpostavimo da u nekoj oblasti kojoj pripada tačka funkcija ima neprekidne parcijalne izvode zaključno sa izvodima trećeg reda i pretpostavimo da je tačka stacionarna tačka date funkcije tj.

.

Stavimo da je

1. i tada funkcija ima maksimum u .

2. i tada funkcija ima minimum u .

3. tada funkcija nema ni maksimum ni minimum u .

4. tada je za određivanje karaktera stacionarnih tačaka potrebno ispitivanje izvoda višeg reda.

Dokaz:      Aproksimirajmo funkciju Tejlorovim polinomom drugog reda u okolini tačke

gde kad .

Ako u Tejlorovu formulu unesemo uslove stacionarnosti dobija se

Upotrebimo gornje oznake za i stavimo da je ugao između pozitivnig dela ose i odsečka , . U tom slučaju priraštaji i mogu da se izraze preko ugla :

zamenom u prethodnu jednačinu dobijamo

Ako pretpostavimo da je i desnu stranu izraza podelimo sa dobijamo da je

Razmotrimo sledeće slučajeve:

1. - tada je u brojiocu razlomka zbir dve pozitivne veličine koje ne mogu istovremeno biti jednake nuli jer je

Dakle brojilac je uvek pozitivan, a imenilac negativan, te je ceo razlomak negativan, pa ga možemo označiti sa , gde je neki realan broj koji ne zavisi od . Prema tome,

sledi da je za dovoljno malo

tj. za sve tačke okoline tačke važi

što znači da funkcija ima maksimum u tački .

2. , analogno dobijamo

tj.

što znači da funkcija ima minimum u tački .

3. , tada, recimo, pri kretanju duž

poluprave koja polazi iz i obrazuje ugao sa pozitivnim smerom data funkcija raste jer je

dok pri kretanju duž poluprave koja sa pozitivnim smerom obrazuje ugao

,

za proizvoljno malo

što znači da u ovom smeru opada, zato funkkcija nema ni maksimum ni minimum.

Slično i kad funkcija takođe nema ekstremum.

Ako je , tada je i izraz za totalni priraštaj poprima oblik

.

Za dovoljno male vrednosti izraz ne menja znak, a menja znak u zavisnosti da li je ili . Ako je dovoljno malo tada faktor neće uticati na znak celog izraza. Prema tome, znak menjaće se u zavisnsti od , tj. od izbora i , što znači da ne može biti tačka ekstremiteta.

Dakle, ako je , funkcija u nema ni maksimum ni minimum i u tom slučju površina funkcije koja odgovara ima u tzv. minimaks ili sedlastu tačku.

4. , tad imamo da je

te znak totalnog priraštaja zavisi od znaka , što znači da je za utvrđivanje karaktera ekstemuma u potrebno ispitati parcijalne izvode višeg reda.

Napomena: Do sada smo posmatrali samo stacionarne, a ne sve kritične tačke. U tim slučajevima karakter ekstremuma se utvrđuje preko definicija lokalnog maksimuma i lokalnog minimuma.

Ekstremumi funkcije promenljivih

Pretpostavimo da je funkcija neprekidna, definisana i da ima izvode I i II reda u okolini neke stacionarne tačke . Totalni priraštaj pomoću Tejlorove formule glasi

tj.

, gde je

a parcijalni izvodi II reda su izračunati u nekoj tački

iz okoline . Ako se uvedu oznake

pri čemu je

,

gde kad .

Zbog neprekidnosti drugih parcijalnih izvoda je . U tom slučaju imamo da je totalni priraštaj

.

Prvi deo priraštaja neziva se kvadratnom formom promenljivih

.

Kvadratna forma se naziva pozitivno definisanom ako ima pozitivne vrednosti, odnosno negativno definisanom ako ima negativne vrednosti za sve moguće vrednosti svojih argumenata koji nisu istovremeno jednaki nuli.

Neophodan i dovoljan uslov definisanosti znaka kvadratne forme daje sledeća teorema

Teorema: (Silvesterov kriterijum) Neka su u simetričnoj matrici

kvadratne forme tzv. glavni minori determinante

Da bi bilo pozitivno neophodno je i dovoljno da

Da bi bilo negativno neophodno je i dovoljno da glavni minori naizmenično menjaju znake

Ako je , je nedefinisanog znaka (tj. menja znak u zavisnosti od svojih argumenata).

Pomoću kvadratne forme formulišu se dovoljni uslovi za eksremum funkcije

Teorema: Neka u nekoj okolini stacionarne tačke funkcija ima neprekidne sve parcijalne izvode II reda

.

Ako drugi diferencijal predstavlja kvadratnu formu definisanog znaka, čiji su argumenti , tada ima u tački lokalni ekstremum. Pri tom ako je kvadratna forma

1. pozitivno definisana, u funkcija ima minimum

2. negativno definisana, u funkcija ima maksimum

3. promenljivog znaka, u funkcija nema ekstremum

Dokaz:      Označimo li sa rastojanje između tačaka i tada uvodeći oznake s obzirom možemo napisati totalni priraštaj u obliku

.

Sve vrednosti ne mogu istovremeno biti jednake nuli jer je s obzirom na izraz

Ako je pozitivno, prva suma u izrazu uvek ima pozitivan znak, a s obzirom na uslov postoji realan broj , takav da za sve moguće vrednosti

.

Kako je ova suma neprekidna funkcija argumenata u celom -dimenzionom prostoru, biće neprekidna na jediničnoj sferi sa centrom u tački definisanom izrazom . Saglasno Vajerstrasovoj teoremi neprekidna funkcija u zatvorenoj oblasti može dostizati svoju najmanju vrednost, koja je zbog neprekidnosti pozitivna i ta vrednost je označena sa . Druga suma u izrazu za dovoljno male vrednosti , s obzirom da kad , a znači i da , po apsolutnoj vrednosti je manja od , što znači da u dovoljno maloj okolini (sferi sa centrom u tački ) totalni priraštaj pozitivan, odnosno da u tački funkcija dostiže minimum.

Na sličan način se dokazuje da ako je negativno tada u tački funkcija dostiže maksimum, a ako menja znak tada u tački nema ekstremuma.

Uslovni ekstremum funkcije više promenljivih

Ekstremumi koji zadovoljavaju još neke dopunske uslove nazivaju se uslovnim ekstremumima.

Primer: Ako je u problemu na skupu tačaka u kome važi dopunnski uslov.

Ako se u jednačinu jedna od promenljivih zameni pomoću druge promenljive iz navedenog uslova dobija se da je , tj. , što znači da se polazni problem određivalja uslovnog ekstremuma svodi na problem nalaženja bezuslovnog ekstremuma funkcije jedne promenljive .

Pošto je i funkcija ima minimum u tački .

Ako se u problemu određivanja uslovnog ekstremuma funkcije dveju promenljive, jednačina koja kroz dopunski uslov daje vezu između nezavisno promenljivih može predstaviti jednačinama u parametarskom obliku , tada je polazni problem određivanja ekstremuma funkcije pri uslovima svodi se na problem određivanja bezuslovnog ekstremuma složene funkcije jedne promenljive .

Ako oblik dopunskih uslova ne daje mogućnost da se jedna nezavisno promenljiva izrazi preko druge, tada je problem određivanja uslovnog ekstremuma nešto složeniji.

Pretpostavimo da u funkciji promenljiva zavisi od preko implicitnog dopunskog uslova

U tom slučaju imamo da je , dok je u tačkama ekstremuma

a diferenciranjem dopunskog uslova dobija se

što inače važi za sve vrednosti i koji zadovoljavaju dopunski uslov

Ako se jadnakost pomnoži sa nekim neodređenim koeficijentom i sabere sa jednakošću dobija se da je

odnosno

što važi u svim tačkama ekstremuma pri uslovu .

Izaberimo sada tako da bude zadovoljen uslov

U tom slučaju iz jednakosti sledi da za sve vrednosti i za koje važi ispunjen je i uslov

Dakle u tačkama ekstremuma funkcije za koje važi uslov zadovoljen je sistemom jednačina

iz koga se određuju stacionarne tačke i neodređeni koeficijent . Izloženi postupak predstavlja ujedno i dokaz sledeće teoreme.

Neophodni uslovi za uslovni ekstremum

Teorema: Neophodan uslov da funkcija pri uslovu ima ekstremum u nekoj tački jeste da postoji takav realan broj da vrednosti zadovoljavaju sistem jednačina

uz pretpostavku da i nisu istovremeno jednaki nuli.

Primetimo da leve strane prvih dveju jednačina u sistemu predstavljaju parcijalne izvode funkcije

koja se naziva Lagranžovom funkcijom razmatranog problema uslovnog ekstremuma. Izloženi metod za određivanje uslovnih ekstremuma naziva se Metodom Lagražovih multiplikatora koji ima veoma jasan geometrijski smisao.

Na slici imamo nivo-liniju funkcije i krivu koja je zapravo uslov i na kojoj treba da se nalaze tačke ekstremuma.

Tačka u kojoj seče nivo-liniju ne može biti tačka uslovnog ekstremuma jer je sa jedne strane nivo–linije , a sa druge strane . Ako u kriva dodiruje nivo-liniju tada u nekoj okolini tačke kriva leži sa jedne strane nivo-linije, što znači da je tačka tačka uslovnog ekstremuma. To znači da će uglovni koeficijent krive i nivo linije u tački biti jednaki. Iz uslova imamo

a iz jednačine nivo-linije sledi

odnosno sistem .

Metod lagranžovih multiplikatora može se uopštiti za određivanje uslovnog ekstremuma funkcije sa proizvoljno mnogo nezavisnih promenljivih. Pretpostavimo da treba odrediti estremum funkcije uz dopunske uslove da za nezavisno promenljive treba da bude zadovoljeno jednačina ():

Teorema: (neophodan uslov za ekstremum) Tačke ekstremuma funkcije u kojima su ispunjeni uslovi predstavljaju stacionarne tačke Lagranžove funkcije

,

tj. tačke u kojima su parcijalni izvodi od po

Iz sistema jednačina i mogu se odrediti i pomoćne promenljive . Sistem predstavlja parcijalne izvode Lagranžove funkcije po pomoćnim promenljivim .

Dovoljan uslov za uslovni ekstremum

Teorema: (dovoljan uslov za ekstremum) Ako je drugi diferencijal Lagranžove funkcije u stacionarnoj tački funkcije , tada u tački funkcija ima uslovni minimum, a ako je u tački , , tada u tački funkcija ima uslovni maksimum.

Primetimo da promenljive Lagranžove funkcije zavise od , te pri izračunavanju treba voditi računa da je ,

tj.

jer je

Tako da je oblik drugog diferencijala Lagranžove funkcije isti kao kad bi sve promenljive bile međusobno nezavisne.