Metode integracije


	Integracija elementarnih funkcija Tablični integrali - određeni na osnovu definicije neodređenog integrala i uz pomoć tabličnih izvoda Pravila integracije funkcija Primer: Neka je , tada je Primer: Neka je , tada je . Integracija metodom smene promenljive Budući da je neodređeni integral skup primitivnih funkcija , izraz je u stvari diferencijal svake funkcije , jer je Pretpostavimo da promenljivu zamenimo novom promenljivom pomoću strogo monotone, derivabilne funkcije . Tada podintegralna funkcija postaje složena funkcija promenljive , tj. , a diferencijal u tom slučaju postaje diferencijal funkcije , tj. . Prema tome, ako se u integralu argument zameni sa , treba zameniti sa . Drugim rečima, nalaženje primitivne funkcije za funkciju ekvivalentno je traženju primitivne funkcije za funkciju , tj. . Preciznije govoreći, važi sledeća teorema Teorema: Ako je strogo monotona diferencijabilna funkcija, tada važi Dokaz: Budući da je diferencijabilna i strogo monotona funkcija, postoji i . Zato je , tj. . Izvod leve strane relacije daje . Izvod desne strane u , kao složene funkcije, daje Dakle, izvodi po levo i desno u , jednake su, što dokazuje da su neodređeni integrali na obe strane jednaki, a to smo hteli pokazati. Primer: Izračunajmo integral . Uvedimo smenu . Tada sledi da je , a diferenciranjem . Dakle, Primer: Izračunajmo integral . Ponekad je podintegralna funkcija takvog oblika da je moguće primeniti neku od sledećih formula na osnovu metoda smene Primer: . Primer: Integrali oblika i takođe se uspešno rešavaju metodom smene promenljive. Transformirajmo kvadratni trinom : gde je . Zamenom promenljive , navedeni integrali se svode na: Zavisno od koeficijenata integral pod se svodi na jedan od tabličnih integrala pod brojem ili , dok se integral pod se svodi na jedan od tabličnih integrala pod brojem ili Primer: Izračunajmo integral . Ovde je , pa na osnovu imamo Uvođenjem nove promenljive, sledi Kako je dobijamo Kombinujući formule i metodom smene promenljive moguće je rešiti integral oblika. Očigledno važi transformacija Integral rešimo po formuli dok integral rešavamo na već prikazani način, prema formuli . Primer: Izračunajmo integral . Metoda parcijalne integracije Neka su i diferencijabilne funkcije nezavisne promenljive na nekom intervalu . Po pravilu izvoda proizvoda funkcija imamo da je Integracijom dobijamo odakle je ili Dobijenu formulu zovemo formulom parcijalne integracije. Praktičan značaj formule je u tome da je ponekad pogodno podintegralnu funkciju prikazati kao proizvod neke funkcije i izvoda , neke druge funkcije . Tada se rešavanje integrala svodi na rešavanje integrala . Primer: Izračunajmo integral Primer: Izračunajmo integral Integrale oblika i , takođe, rešavamo pravilom parcijalne integracije. Primer: Izračunajmo integrale i . Za dobijamo Rešavajući analogno integral , dobijamo Možemo sada postaviti sistem jednačina gde su nepoznate i traženi integrali. Rešavanjem sistema jednačina dobijamo Integracija racionalnih funkcija Neka je racionalna funkcija. Ako je , tj. neprava racionalna funkcija, tada deljenjem sa , možemo prikazati kao sumu polinoma i prave racionalne funkcije u obliku Uzmimo da je prava racionalna funkcija . Tada se ona može rastaviti na zbir parcijalnih razlomaka oblika odnosno pri čemu prvi tip razlomka potiče od realnih, a drugi od tipa kompleksnih nul-tačaka polinoma u imeniocu funkcije . Prema tome, problem se svodi na rešavanje integrala oblika i gde su i neke realne konstante, je prirodan broj, a kvadratni trinom ima kompleksno-konjugovane nul-tačke. Integrali oblika . Ako je , onda je Ako je , onda smenom promenljive , imamo da je Primer: Izračunajmo integral . Rastavimo podintegralnu funkciju na parcijalne razlomke Metodom sličnosti polinoma dobijamo da je Integrali oblika Integrale ovog oblika smo već rešavali metodom smene gde je i Integrali oblika , gde je I Izvedimo transformaciju podintegralne funkcije Prvi integral možemo rešiti smenom odakle je , pa dobijamo Drugi integral označimo sa i izvedimo transformaciju Uvodeći smenu i oznaku za dobijamo Kombinujući metodu smene promenljive i parcijalnu integraciju, posle niza relacija, dobija se rekurzivna formula za izračunavanje integrala , koju ovde nećemo izvoditi, već je dajemo u gotovom obliku Primer: Izračunajmo integral . Kako je i , to je , tako da imenilac nema realnih nul-tačaka. Tranformišimo integral Zamenom u rekurentnu formulu dobijamo pa je Tako da je konačno rešenje Integracija iracionalnih funkcija Integrali oblika Napomenimo da su racionalni eksponenti, a racionalna funkcija po . Integrali ovog oblika se svode na integrale racionalne funkcije po promenljivoj uvođenjem smene pri čemu je broj zajednički imenilac razlomaka . Primer: Izračunajmo integral . Uvedimo smenu , pa je Tada je Dakle, dobili smo integral racionalne funkcije po koji znamo rešiti. Integrali oblika Ako je u integralu navedenog oblika racionalna funkcija po argumentu i izrazu , tada je moguće, tzv. Ojlerovim smenama, svesti takav integral na integral racionalne funkcije po novoj promenljivoj . Ako je koeficijent , uvodimo tzv. prvu Ojlerovu smenu stavljajući (radi određenosti uzmimo dalje ). Iz toga sledi odakle je racionalna funkcija od , pa je i diferencijal , kao i racionalno izražen po promenljivoj . Prema tome, dati integral se transformiše u integral racionalne funkcije promenljive . Primer: Izračunajmo integral . Smenom dobijamo pa je , a Prema uvedenoj smeni promenljive izlazi Ako je koeficijent , uvodimo tzv. prvu Ojlerovu smenu stavljajući (radi određenosti uzmimo dalje ). Odavde sledi odakle se izražava kao racionalna funkcija od , tj. Kako je i racionalno po , to se integral transformiše u integral racionalne funkcije po promenjivoj . Primer: Izračunajmo integral . Kako je i integral možemo rešiti prvom ili drugom Ojlerovom smenom. Uzmimo drugu smenu stavljajući Odavde izlazi pa je , a Na osnovu prethodnih transformacija dobijamo da je Prema tome, dati integral se transformiše u integral racionalne funkcije promenljive . Pretpostavimo da trinom ima realne nul-tačke, na primer i . Tada je moguća faktorizacija U tom slučaju uvodimo tzv. treću Ojlerovu smenu iz koje sledi a odavde rešavanjem po nalazimo da je i prema tome, opet se zadani integral transformiše u integral racionalne funkcije po promenjivoj . Primer: Izračunajmo integral . Evidentno je da su i nul-tačke trinoma u imeniocu, pa je Smenom izlazi te je i dok je Na osnovu uzete smene dobijamo rešenje Povratkom na promenljivu , na osnovu relacije izlazi konačno Integracija nekih tipova trigonometrijskih funkcija Za funkciju kaže se da je racionalna funkcija sinusa i kosinusa ako je sastavljena isključivo racionalnim operacijama od i . Pretpostavimo da je zadan integral u kome je racionalna funkcija od i . Uvedimo smenu promenljive novom promenljivom , prema formuli . Tada je i Odavde sledi da je . Budući da je kompozicija racionalnih funkcija, takođe, racionalna funkcija, integral je integral racionalne funkcije po promenljivoj . Primer: Izračunajmo integral . Ako je u integralu racionalna funkcija od , tada smena daje . Analogno, ako je u integralu racionalna funkcija od , tada smena daje . Ukoliko podintegralna funkcija racionalno zavisi samo od (tj. od ), tada je svrsishodna smena . Naime, . Primer: Izračunajmo integral . . Dobijeni integral lako rešavamo na način već obrađen u delu integracija racionalih funkcija. Jedan oblik integrala je i onaj kada je , gde su i celi brojevi. Tu razlikujemo dva slučaja. Jedan od brojeva i je neparan, recimo . Tada je Uvođenjem promenljive dobijamo Primer: Izračunajmo integral . Brojevi i su parni prirodni brojevi. Upotrebom trigonometrijskih relacija i izlazi transformacija integrala Stepenovanjem i množenjem zagrada u podintegralnoj funkciji dobijamo članove koji sadrže parne i neparne stepene od . Članove neparnih eksponenata integriramo metodom pod , dok članove parnih eksponenata, prema formulama svodimo na integrale oblika , koje lako rešavamo. Na kraju razmotrimo integrale oblika , , gde su i realne konstante. Oni se lako rešavaju upotrebom trigonometrijskih formula Uvođenjem smene i , integrali navedenog oblika prelaze, na osnovu navedenih relacija, u integrale zbira, odnosno razlike, kosinusa i sinusa, koje lako rešavamo.