Dvojni i trojni integral

Neka je prosto povezana zatvorena oblast u ravni i neka je funkcija definisana i neprekidna u oblasti i koju na slici predstavlja površ . Podelimo na proizvoljan način oblast na elementarne oblasti i u svakoj od ovih podoblasti uočimo po jednu tačku i odgovarajuću vrednost date funkcije: .

Def: Neka je neprekidna funkcija u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti i neka je na proizvoljan način podeljena na elementarne oblasti . Ako postoji granična vrednost integralne sume

kada najveći prečnik elementarnih oblasti () teži nuli, tada se ta granična vrednost naziva dvojnim integralom funkcije na oblasti i označava

.

Neka je tačka u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti i neka je podeljena na elementarne oblasti ; tada za funkciju , neprekidnu na oblasti , sumu

nazivamo -tom integralnom sumom. Ako postoji granična vrednost te sume kad (sa smo označili dijametar podoblasti ), odnosno kad , tada je ta granična vrednost:

1. jednodimenzionalni integral

(kada je linija)

2. dvodimenzionalni integral

(kada je površ)

3. trodimenzionalni integral

(kada je telo)

uopšte, -dimenzionalni integral

(kada je prosto povezana zatvorena -dimenzionalna oblast)

Posebno, ako je odsečak koordinatne ose imamo običan određeni integral, ako je oblast u koordinatnoj ravni, imamo dvojni integral, a ako je telo, imaćemo, tzv. trojni integral.

Def: Neka je neprekidna funkcija u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti koja je na proizvoljan način podeljena na elementarne oblasti . Izaberimo proizvoljne tačke i označimo odgovarajuće vrednosti date funkcije sa ; ako postoji granična vrednost sume

kada najveći prečnik elementarnih oblasti () teži nuli, tada se ta granična vrednost naziva trojnim integralom funkcije na oblasti i označava

.

Osnovna svojstva dvojnog i trojnog integrala

Teorema: Ako su funkcije neprekidne u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti , odnosno ako su neprekidne u zatvorenoj prosto povezanoj oblasti , tada je

gde je , tj. .

Teorema: Ako je funkcija neprekidna u oblasti odnosno u oblasti , tada je

Teorema: Ako neprekidna funkcija u oblasti odnosno u oblasti , ne menja znak , tada je odnosno istog znaka kao i .

Teorema: Ako je odnosno , gde odnosno nemaju zajedničkih tačaka, tada je

Teorema: (teorema o proceni vrednosti dvojnog integrala) Ako su i najmanja, odnosno najveća vrednost funkcije u oblasti , a površina oblasti , tada je

.

Teorema: (teorema o proceni vrednosti trojnog integrala) Ako je i , a zapremina trodimenzionalne oblasti , tada je

.

Neposredno iz navedenih teorema sledi da ako je tada je

, tj. .

Teorema: (teorema o srednjoj vrednosti dvojnog integrala) Ako je funkcija neprekidna u zatvorenoj oblasti ravni , tada postoji takva tačka oblasti da je

.

Teorema: (teorema o srednjoj vrednosti dvojnog integrala) Ako je funkcija neprekidna u zatvorenoj trodimenzionalnoj oblasti , tada postoji takva tačka oblasti da je

.

Izračunavanje dvojnog i trojnog integrala

Neka je na nekoj oblasti zadat dvojni integral

,

gde je neprekidna funkcija . Taj integral se izračunava tako što mu se odrede granice integracije, pa se zatim svede na dvostruki integral. Proces integracije se sastoji u tome da tačka prođe kroz sve tačke oblasti .

Neka je, za trenutak, . Tada u dvojnom integralu imamo samo promenljivu koja se menja u granicama od do

, pa je tada

površina krivolinijskog trapeza, tako da je, kada se menja od do

Izračunavanje trojnog integrala svodi se na tri integracije, tj. na određivanje granica integracije i transformisanje u trostruki integral. Smatrajući, za trenutak, da su i konstantne, vrši se integracija duž prave koja daje presek ravni i ravni . Na taj način dobijamo

,

gde je promenljiva dužina odsečka čiji se krajevi nalaze na donjem, odnosno gornjem delu površi . Kada tačka prođe kroz sve tačke oblasti , odsečak će proći kroz sve tačke tela ;

to znači da je

,

pa je

,

tj.

gde je na desnoj strani trostruki integral.

Transformacija promenljivih u dvojnom integralu

Ako umesto Dekartovih koordinata uvedemo nove promenljive preko relacija

,

gde su i neprekidne i diferencijabilne funkcije u nekoj oblasti . Pri tom je

tj.

;

u kvadratnoj matrici su funkcije od i i toj matrici odgovara funkcionalna determinanta

i zove se Jakobijan. Dakle

.

Na osnovu toga imamo

.

Transformacija promenljivih u trojnom integralu

Ako umesto Dekartovih koordinata uvedemo nove promenljive preko relacija

,

gde su , i neprekidne i diferencijabilne funkcije u nekoj oblasti , tada ćemo imati

tj.

,

u kvadratnoj matrici su funkcije od i i toj matrici odgovara funkcionalna determinanta

.

i zove se takođe Jakobijan. U ovom slučaju je tzv. koeficijent deformacije trodimenzionalne oblasti, pa je element zapremine

,

tako da je

.

Uopšteni dvojni i trojni integral

Uopšteni integral sa beskonačnom oblašću integracije.

Neka je u beskonačna oblast, a neka je konačna zatvorena oblast . U tom slučaju je

,

gde je simbolično predstavlja proces proširivanja oblasti na celu oblast .

Neka je u ceo i neka je konačna zatvorena oblast . U tom slučaju je

,

gde simbolično predstavlja proces proširivanja oblasti na celu oblast , tj. ceo prostor .

Uopšteni integrali sa neograničenim integrandom

Integrand unutar oblasti integracije ili na granici integracije te oblasti postaje beskonačan. Tad umesto takve oblasti (ili ) uzima se oblast (odn. ) koja ne sadrži nijednu od tačaka u kojima . Tada je opet

, ,

ako granična vrednost postoji; za razliku od gornjih integrala sada su i konačne oblasti.