" Nema ni jedne matematičke grane, ma koliko da je apstraktna, koja se jednom ne bi mogla primeniti na pojave stvarnog sveta"

 LOBAČEVSKI NIKOLAJ IVANOVIČ

 

 

Ruski matematičar, osnivač neeuklidske geometrije (1792-1856). Skoro ceo život provro je u Kazanju, gde je učio gimnaziju i studirao na Kazanjskom univerzitetu. Po završetku studija ostao je na univerzitetu: od 1881-1846. prošao je sva univerzitetska zvanja, od asistenta do redovnog profesora. Bio je dekan Fizičko-matematičkog fakulteta i rektor univerziteta. Poslednjih godina života bio je pomoćnik okružnog načelnika kazanjskog školskog okruga. Njegovom zaslugom Kazanjski univerzitet stekao je renome i slavu, unapređen je njegov naučni i pedagoški rad. Lobačevski je bio inicijator i redaktor Naučnih zapisa Kazanjskog univerziteta; rekonstruisane su ili osnovane mnoge ustanove univerziteta (biblioteka, kabineti, klinike, opservatorije i drugo). Lobačevski je doživeo da iz političkih razloga bude udaljen sa univerziteta poslednjih deset godina svoga života, što je osamljen veoma teško podnosio.

Svoju neprolaznu slavu Lobačevski je stekao zasnivanjem nove, tzv. Neeuklidske geometrije koja je predstavljala revolucionarnu tačku u razvitku matematičkog mišljenja XIX v. Mnogi istaknuti matematičari pokušavali su pre Lobačevskog da dokažu peti Euklidov postulat o paralelama: da se kroz jednu tačku izvan neke prave, u ravni određenoj tom tačkom i tom pravom, može povući samo jedna prava koja neće seći datu pravu. To isto pokušao je da dokaže i Lobačevski, što se vidi iz njegovih predavanja koja je držao 1816-1817. Za štampu je bio pripremio još 1823. amostalan kurs geometrije koji zbog recenzenata nije objavljen. U njemu su začeci novih ideja Lobačevskog u odnosu na principe geometrije.

Ukazivao je na važan problem u teoriji paralelnih pravih koji se sastoji u tome da se osnovno tvrđenje teorije paralelnih primalo bez analize neophodnosti. Naime, pri preseku trećom pravom dveju pravih u ravni, obrazuju se osam uslova, ako je pri tom zbir unutrašnjih uglova s jedne strane jednak dvama pravim uglovima, onda su dve prave paralelne. Da li važi obratno tvrđenje? Može li se tvrditi da svaki put kad su dve prave paralelne, da je presekom treće prave tih pravih zbir unutrašnjih uglova s jedne strane jednak dvama pravim uglovima? Euklidova geometrija tvrdi da to važi i to čini sadržinu petog Euklidovog postulata.

Lobačevski je uviđao uzaludnost pokušaja da se dokaže peti Euklidov postulat, pa na zasedanju Fizičko-matematičkog odeljenja 1826. Izlaže svoj rad Sažeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama koja obeležava datum rođenja neeuklidske geometrije. Zahtevao je da se rad objavi u Naučnim zapisima Kazanjskog univerziteta, ali, ne shvativši sadržinu rada, komisija sastavljena od tri profesora nije prihvatila njegovo objavljivanje.

Lobačevski je nastavio sa svojim radom iako njegova pionirska istraživanja nisu bila prihvaćena. U časopisu "Kazanjski vesnik" objavio je 1829-1830. rad O principima geometrije. Obrađivao je najpre onaj deo geometrije koji se može izvesti bez koriščenja petog Euklidovog postulata: tako je definisao apsolutnu geometriju. Dokazao je da se pretpostavka – da se u ravni kroz jednu tačku izvan date prave može povući više pravih koje neće seći datu pravu – ne može dovesti u protivrečnost. Polazeći od toga pokazao je da se može matematički i logički razviti jedna cela geometrija, različita od Euklidove geometrije. Tako je nastala Imaginarna geometrija, 1835, zatim, Primena imaginarne geometrije na neke integrale, 1836; Novi principi geometrije sa punom teorijom paralelnih, 1835-1838, kao i dva dela objavljena izvan Rusije: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, 1840 (odnosi se na geometrijska istraživanja u teoriji paralelnih linija) i Pangéometrie, 1855 (odnosi se na imaginarnu geometriju).

Geometrija Lobačevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao I Euklidova, samo što se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednu tačku izvan neke prave mogu povući najmanje dve prave koje leže sa datom pravom u istoj ravni i ne seku je. Svoju geometriju je konstruisao polazeći od osnovnih geometrijskih pojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoreme geometrijskim metodama, slično Euklidovoj geometriji. Kao osnova služila mu je teorija paralelnih pravih i to razlikuje geometriju Lobačevskog od Euklidove. Geometrija Lobačevskog otkriva novi svet geometrijskih objekata, npr.: prave paralelne u smislu Lobačevskog sve više se približuju jedna drugoj u jednom smeru a u suprotnom smeru njihovo rastojanje se neograničeno uvećava; dve prave prave u istoj ravni koje imaju zajedničku normalu, na obe strane od te normale beskonačno se razilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180o, što znači da u geometriji Lobačevskog četvorougao može imati najviše tri prava ugla a četvrti je oštar; sve tačke koje se nalaze na jednakom odstojanju od date prave leže na krivoj liniji a ne na pravoj, kao u Euklidovoj geometriji. Ravan i prostor Lobačevskog su skupovi tačaka u kojima su određene prave, kretanje figura, rastojanja, uglovi i drugi elementi. Izradio je odgovarajuću trigonometriju, kao i principe analitičke i diferencijalne geometrije.

Kao neeuklidska geometrija, geometrija Lobačevskog imala je protivnike među matematičarima koji nisu shvatili njenu sadržinu sve dok veliki italijanski matematičar Beltrami (Eugenio Beltrami, 1835-1900) nije 1868. Pokazao da geometrija Lobačevskog vredi na jednoj posebnoj površi nazvanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanja velikih matematičara. U tom pogledu značajni su radovi Nemaca Klajna (Felix Klein, 1849-1925) i Rimana i Francuza Poenkarea koji su veoma doprineli u smislu afirmacije geometrije Lobačevskog i njene primene. Ona je našla široku primenu u raznim granama matematike, posebno u modernim tokovima teorijske fizike.

 

U isto vreme ali nezavisno od Lobačevskog, došao je do istog rezultata mađarski matematičar Boljaj (János Bolyai, 1802-1860), koji se posle objavljivanja svog rada o paralelama više nije bavio neeuklidskom geometrijom. Na osnovu Gausove korespondencije saznaje se da je do neeuklidske geometrije došao sam Gaus pre Lobačevskog i Boljaja. Međutim, nije mogao da se odluči da objavi svoje otkriće, strepeći da neće biti shvaćen. U jednom pismu Gaus pohvalno piše o radovima Lobačevskog koji se odnose na neeuklidsku geometriju.

 

Kao matematički stvaralac Lobačevski se ispoljio i u drugim granama matematike: u algebri, matematičkoj analizi, posebno u teoriji beskonačnih redova, kao i u približnom rešavanju algebarskih jednačina.

Materijalističkog pogleda na svet, Lobačevski je smatrao da su polazne matematičke apstrakcije, a isto i osnovni pojmovi geometrije odrazi samo opštih i prostih realnih odnosa i osobina realnog sveta. U prirodi saznajemo kretanje bez koga su nemoguća naša osećanja, pa su skoro svi pojmovi, npr. geometrijski, proizvedeni našim umom putem iskustva, stečenog iz osobina kretanja. Na taj način, prema Lobačevskom, naše prve datosti su bez sumnje uvek pojmovi koje dobijamo iz prirode putem naših čula. U tome je materijalistička suština njegovog senzualizma. Isticao je da se matematičke apstrakcije kod nas rađaju ne proizvoljno ljudskom misli, nego u rezultatu našeg uzajamnog odnosa sa materijalnim svetom. Površi i linije ne postoje u prirodi, podvlači naučnik, već samo u mašti; one tako predstavljaju osobine tela čijom spoznajom se nužno rađaju pojmovi površi i linija. Njegovi pogledi na teoriju i praksu potpuno su materijalistički. Praksu smatra kriterijumom istine. Podvlači da se naučna spoznaja ne sastoji u razvijanju pojmova otrgnutih od života, već u izučavanju materijalnog sveta. Priznaje ogromnu ulogu hipoteza u naučnoj spoznaji: one moraju održavati odnose uočene u stvarnosti i prema tome nalaziti se u tesnoj vezi sa praktičnim primenama. Podvlačio je da "nema grane matematike, ma kako da je apstraktna, koja se jednog dana ne bi mogla primeniti na pojave stvarnog sveta".

 

Otkriće neeuklidske geometrije spada u red najvećih otkrića u matematici. Ovim otkrićem, kao i svojim celokupnim stavom matematičara i filozofa matematike, Lobačevski je otvorio nove puteve u razvitku matematike koji su usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike i uvrstio se u red genijalnih stvaralaca. Povodom stogodišnjice njegovog rođenja utemeljena je Nagrada Lobačevskog za dela iz neeuklidske geometrije.

 

Seminarski rad: Brković Milutin

Broj indeksa: NRT 157 / 2001