Dat je polinom P(x) = x² – 4x – 5 i matrica A = . Dokazati da je P(A) = 0.

ReŠenje:

Kako je P(A) = A ² – 4A – 5I, bice

P(A) = - 4- 5 =

= - - =

zadatak br.2

Resiti matricnu jednacinu X = .

ReŠenje:

Neka je

A = , B = .

Tada data matricna jednacina glasi AX = B.

Kako je

det A = = - 2 = 2 – 6 = -4 ą 0,

postoji matrica A^-1, pa je resenje date matricne jednacine X = A^-1B.

Izracunajmo kofaktore matrice A:

A₁₁ = = 2, A₁₂ = - = -3, A₁₃ = = 1,

A₂₁ = - = -6, A₂₂ = = 3, A₂₃ = - = -1,

A₃₁ = = 2, A₃₂ = - = -1, A₃₃ = = -1.

Stoga je

A^-1 = = .

Dakle,

X = = = .

 zadatak br.3

Resiti matricnu jednacinu X = .

ReŠenje:

Neka je

A = , B = .

Tada data jednacina glasi AX = B.

Kako je

det A = (-1)- + 2 = -2 + 1 + 2 = 1 ą 0,

resenje date jednacine je X = A^-1B.

Kofaktori matrice A su:

A = = 3, A₁₂ = - = 1, A₁₃ = = 1,

A₂₁ = - = -3, A₂₂ = = 1, A₂₃ = - = -2,

A₃₁ = = 1, A₃₂ = - = -1, A₃₃ = = 1.

Stoga je

A^-1 = = ,

pa je

X = = .

 zadatak br.4

Dat je polinom P(x) = 3X² – 2X + 5 i matrica A = .

Odrediti P(A) i rang matrice A.

ReŠenje:

          P(A) = 3A² – 2A + 5I

= 3 - 2 + 5 =

= 3 - + =

= + + =

= .

Kako je det A = + 2 + 3 = -3 + 2 + 6 = 5 0,

bice rangA = 3.

 zadatak br.5

Ako je A = , izracunati A² – (a + d)A + (ad – bc)I.

ReŠenje:

A² – (a + d)A + (ad – bc)I = - (a + d) + (ad + bc) =

= + + = .

 zadatak br.6

Resiti jednacinu XA = B, gde je A = i B = .

ReŠenje:

Kako je det A = = - - = 4 – 5 = -1 ą 0,

postoji A^-1, pa je resenje date matricne jednacine X = BA^-1.

Kofaktori matrice A su:

A = = -1, A₁₂ = - = -1, A₁₃ = = 1,

A₂₁ = - = 4, A₂₂ = = 5, A₂₃ = -= -6,

A₃₁ = = 3, A₃₂ = - = 3, A₃₃ = = 4,

te je A^-1 = = - = .

Znaci, X = = .

 zadatak br.7

Resiti matricnu jednacinu (A + I)X = A – I, gde je A =

ReŠenje:

          Neka je B = A + I = , C = A – I = .

          Tada jednacina glasi BX = C.

          Kako je det B = 2 = 6 ą 0, postoji B^-1, pa je resenje date matricne jednacine

          X = B^-1C.

          Kofaktori matrice B su:

           B = = 6, B₁₂ = - = -2, B₁₃ = = 0,

           B₂₁ = - = -6, B₂₂ = = 4, B₂₃ = - = 0,

           B₃₁ = = -3, B₃₂ = - = 0, B₃₃ = = 3.

            pa je B^-1 = .

            Sada je X = = = .