zadatak br.1

Rešiti sistem jednačina:

x + 3y – 2z = 1

2x – y +z = 3

x + 2z = 7

 ReŠenje:

Glavna determinanta sistema D je:

= -13

 

Pomoćnu determinantu D _x dobijamo kada u D prvu kolonu zamenimo kolonom slobodnih članova D _y dobijamo kada u D drugu kolonu zamenimo kolonom slobodnih clanova, a   D _z kada treću kolonu u D zamenimo kolonom slobodnih članova, pa je:

D _x = = -13; D _y = = -26; D _z = = -39;

 

Sledi da je:

x = = = 1; y = = = 2; z = = = 3.

 zadatak br.2

Rešiti sistem jednačina:

x + y – z = 3

3x + y +z = 7

2x + y = 5

 ReŠenje:

D = = 0

 

Uzmimo iz D jednu minor determinantu D ’ <> 0 (ako postoji). Neka je to:

D ’ = = 1 – 3 = -2 <> 0

 

Kako su elementi determinante D ’ koeficijenti uz nepoznate x i y iz prve i druge jednačine sistema, sada rešavamo po x i y sistem od prve dve jednačine:

x + y = 3 + z

3x + y = 7 – z

 

Rešavajući ovaj sistem imamo da je: D ’ = -2 ;

D _x’ = = 3 + z – (7 – z) = -4 + 2z; D _y’ = = -2 –4z;

pa je:

x = = = 2 – z ;    y = = = 1 + 2z ;

i konačno sistem ima beskonačno mnogo rešenja i opšte rešenje sistema je

(2 – z, 1 + 2z, z)    (z – proizvoljan broj).

 zadatak br.3

Diskutovati i rešiti sistem jednačina u zavisnosti od parametra k.

x + y + z = 0

kx + 4y + z = 0

6x + (k + 2)y + 2x = 0

 ReŠenje:

Ovo je homogeni sistem jednačina, pa prema tome ima trivijalno rešenje x = 0, y = 0, z = 0. Da li pored trivijalnog rešenja ima i beskonačno drugih resenja zavisi od determinante sistema.

D = = k² – k –12

 

Kako je D <> 0, odnosno k² – k –12 <> 0, za k₁ = -3 i k₂ = 4, to za:

k <> -3 i k <> 4 sledi da je D <> 0 sledi da  sistem ima samo trivijalno resenje,

k = -3 ili k = 4 sledi da je D = 0 sledi da  sistem pored trivijalnog ima i beskonacno mnogo drugih resenja.

 

Za k = -3 je D = 0 pa izaberimo minor D ’ <> 0. Neka je to:

D ’ = = 7

Sada se kao u predhodnom primeru odrede D _x’ i D _y’ pa se dobija:

D _x’ = -3z ;  D _y’ = -4z ;

i konačno su rešenja:

x = ; y = ; z – proizvoljno.

Za k = 4 na isti način se dobija:

x – proizvoljno; y = 0; z = 3x.

Napomena: Potrebno je voditi računa da D ’ <> 0 (ako postoji).

 zadatak br.4

Resiti sistem jednacina Gausovom (Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855) metodom eliminacije:

 ReŠenje:

zadatak br.5

Date su matrice

A = ; B = ;

 Odrediti:

a) A + B, b) A – B, c) 3A

 Rešenje:

a) A + B = + = =

 

b) A – B = - = =

 

c) 3A = 3 =

zadatak br.6

Date su matrice

Odrediti:

a) A× B, b) B× A

 ReŠenje:

a) A× B = = =

b) Na isti način se dobija

B× A = =

Iz a) i b) se vidi da je A× B <> B× A.

zadatak br.7

Odrediti rang matrice

A =

ReŠenje:

Determinante najvišeg reda koje se mogu obrazovati iz ove matrice su determinante trećeg reda. Zato prvo izračunavamo te determinante:

= 0; = 0; = 0; = 0;

Kako su sve determinante trećeg reda = 0, onda je r(A) < 3.

Izračunavamo sada determinante nižeg, drugog, reda:

= 5 <> 0 pa je r(A) = 2

Ovakav postupak za određivanje ranga matrice je često glomazan pa se može koristiti i drugi način:

 

1. Treba poći od minora najnižeg reda, pa ići ka minorima višeg reda.

 

2. Ako je nađen minor D <> 0 reda r, tada je potrebno izračunati samo one minore reda r + 1 koji sadrže minor D . Ako su svi minori reda r + 1 jednaki nuli, tada je matrica ranga r, odnosno r(A) = r. Ako je bar jedan od minora reda r + 1 različit od nule, tada se postupak pod b) primenjuje na taj minor, itd. U ovom primeru bi to izgledalo ovako: Poći ćemo od minora reda 1. Neka je to minor

Uočimo sada minor drugog reda koji sadrži ovaj minor. Neka je to

= 5 <> 0 pa je r(A) > 2

Sada uzimamo determinante trećeg reda koje sadrže ovaj minor:

= 0; = 0;

Kako su svi minori trećeg reda koji sadrže prethodni minor jednak nuli, rang matrice je 2, odnosno r(A) = 2.

zadatak br.8

Odrediti inverznu matricu matrice

A =

 ReŠenje:

Kako je A^-1 = A^* moramo prvo odrediti determinantu

= = 2

Da bi odredili A^* moramo odrediti kofaktore elemenata matrice A.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 11; A₁₂ = (-1)¹⁺² = -7; A₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1;

A₂₁ = (-1)²⁺¹ = -7; A₂₂ = (-1)²⁺² = 5; A₂₃ = (-1)²⁺³ = -1;

A₃₁ = (-1)³⁺¹ = 1; A₃₂ = (-1)³⁺² = -1; A₃₃ = (-1)³⁺³ = 1;

 

Kada kofaktore elemenata matrice A poredjamo u transportovanom obliku dobijamo matricu A^*.

A^* =

 

Pa je konacno inverzna matrica matrice A

A^-1 =

 

Proveru možemo izvrsiti množenjem matrica A i A^-1, jer je

A× A^-1 = A^-1× A = I

A× A^-1 = × = = I

zadatak br.9

Ispitati saglasnost sistema jednačina:

2x + 3y – 3z = 1

x + y –2z = 0

3x – 2y +z = -1

ReŠenje:

Kako je proširena matrica sistema:

A_p =

To prvo treba videti rang ove matrice.

<> 0 sledi r(A_p) > 1

= -1 <> 0 sledi  r(A_p) > 2

= 0 i = 0

pa je r(A_p) = 2.

Rang matrice A = je r(A) = 2, jer je determinanta ove matrice jednaka nuli, a postoji minor drugog reda koji je različit od nule, pa je sada:

r(A_p) = r(A) = 2

a to znači po Kronecker-Capelli-evom stavu da je sistem jednačina saglasan i da ima beskonačno mnogo rešenja.

zadatak br.10

Resiti matricnu jednacinu A× X + X – B = 0 ako su:

A = ; B = ;

rešenje:

Kako je A× X + X – B = 0 sledi A× X + X = B, a rešenje ove matrične jednačine je 
(slično prethodnom primeru):

X = (A + I)^-1× B

Kako je A + I = + = , to je:

 

(A + I)^-1 = ,

pa je:

X = =

zadatak br.11

Rešiti sistem jednačina pomoću inverzne matrice

Rešenje:

Sistem jednačina može se napisati u matričnom obliku:

A× X = B

gde su matrice

A = ; X = ; B = ;

a rešenje ove matrične jednačine je:

X = A^-1× B

Zato je potrebno naći prvo inverznu matricu matrice A^-1. Kako je

= = 2

to znači da je r(A) = r(A_p) = 3, odnosno da je sistem saglasan i da ima jedinstveno rešenje. Za inverznu matricu A^-1 matrice A dobija se:

A^-1 =

pa je sada:

X = A^-1× B = = =

Kako je

X = = sledi  x = 1, y = 2, z = 3.